科目代碼：601

科目名稱：高等代數(shù)

適用專業(yè)：數(shù)學(xué)類各專業(yè)

考試時(shí)間：3小時(shí)

考試方式：筆試

總分：150分

考試范圍：

一、多項(xiàng)式

1．多項(xiàng)式的帶余除法及整除性；

2．多項(xiàng)式的因式分解、最大公因式、互素和重因式；

3.不可約多項(xiàng)式的判定和性質(zhì)；

4．多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根；

二、行列式

1．行列式的定義及性質(zhì)；

2.行列式按一行（列）展開；

3．運(yùn)用行列式的性質(zhì)及展開定理等計(jì)算行列式。

三、 線性方程組 

1．線性方程組的求解和討論；

2．線性方程組有解的判別定理；

3．線性方程組解的結(jié)構(gòu)及其解空間的討論。

四、 矩陣 

1．矩陣的基本運(yùn)算、矩陣的分塊；

2．矩陣的初等變換、初等矩陣；

3.矩陣的等價(jià)、合同、正交相似；

4．逆矩陣、伴隨矩陣及其性質(zhì)；

5．矩陣的秩，矩陣乘積的行列式與秩；

6.運(yùn)用初等變換法求矩陣的秩及逆矩陣；

7.矩陣的特征值與特征向量，對(duì)角化矩陣。

五、 二次型

1．二次型及其矩陣表示；

2．C、R、Q上二次型標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形；

3．正定二次型及其討論。

六、 線性空間

1．線性空間、子空間的定義與性質(zhì)；

2.向量組的線性相關(guān)性、極大線性無關(guān)組；

3.線性空間的基、維數(shù)、向量關(guān)于基的坐標(biāo)，基變換與坐標(biāo)變換；

4.生成子空間，子空間的和與直和、維數(shù)公式；

七、 線性變換

1．線性變換的定義、性質(zhì)與運(yùn)算；

2.線性變換的矩陣表示；

3．線性變換的核、值域的概念；

4.線性變換及其矩陣的特征多項(xiàng)式、特征值和特征向量的概念和計(jì)算、特征子空間；

八、歐式空間

1．內(nèi)積與歐氏空間的定義及性質(zhì)，向量的長(zhǎng)度、夾角、距離，正交矩陣；

2.正交子空間與正交補(bǔ)；

3．歐氏空間的度量矩陣、標(biāo)準(zhǔn)正交基、線性無關(guān)向量組的Schmidt正交化方法；

4．實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化的求法。

樣題：

一、（10分）證明：如果，那么.

二、（15分）計(jì)算階行列式：.

三、（15分）已知線性方程組，討論取何值時(shí)，方程組有唯一解？無解？有無窮多解？在有無窮多解時(shí)，求其通解.

四、（15分）設(shè)實(shí)矩陣，為維行向量，且，

證明：是可逆矩陣，并求.

五、（15分，第1小題5分，第2小題10分）

設(shè)是一個(gè)維歐氏空間，是中一個(gè)固定向量.

（1）證明：是的一個(gè)子空間；

（2）證明：的維數(shù)為.

六、（15分，第1小題5分，第2小題10分）

設(shè)二次型通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.

（1）寫出這個(gè)二次型的秩，正、負(fù)慣性指數(shù)及符號(hào)差；

（2）求參數(shù)的值和正交矩陣.

七、（10分）設(shè)是級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣，且滿足，的秩為，試求

行列式，其中是級(jí)單位矩陣.

八、（15分，每小題各5分）設(shè)是全體次數(shù)不超過的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式組成的實(shí)數(shù)域上的線性空間.定義上的線性變換：

，.

（1）寫出在基下的矩陣；

（2）求的核及值域；

（3）證明：.

九、（15分，第1小題10分，第2小題5分）

設(shè)為實(shí)矩陣，是維列向量.證明：

（1）；

（2）線性方程組總有解.

十、（15分）已知矩陣，且，其中是的伴隨矩陣，求矩陣.

十一、（10分，每小題各5分）設(shè)是維歐氏空間中的非零向量，定義變換如下：

（1）證明：是線性變換；

（2）證明：是對(duì)稱變換.

參考書目

北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組.高等代數(shù).高等教育出版社，2013年8月.第4版.