2025年考研考試大綱-數(shù)學(xué)一之高等數(shù)學(xué)，考研考數(shù)學(xué)一高等數(shù)學(xué)的同學(xué)收藏必看

大綱核心要點(diǎn)

當(dāng)前，2024年9月頒布的2025全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)考試大綱對于考試內(nèi)容和考試要求的設(shè)置上預(yù)計(jì)與2024年相比沒有太大變動。

下面，我們將根據(jù)最新的考試大綱，為即將準(zhǔn)備報(bào)考2025考研數(shù)學(xué)的同學(xué)逐一解讀考試大綱中的核心要點(diǎn)。

通過對最新的考試大綱分析可知，根據(jù)工學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)各學(xué)科、專業(yè)對碩士研究生入學(xué)所應(yīng)具備的數(shù)學(xué)知識和能力的不同要求，碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)試卷(簡稱考研數(shù)學(xué))分為三個卷種，其中針對工學(xué)門類的為數(shù)學(xué)(一)和數(shù)學(xué)(二)，針對經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理學(xué)門類的為數(shù)學(xué)(三)。

關(guān)于試卷及考試時間

試卷內(nèi)容及對應(yīng)分值

注：數(shù)學(xué)(二)的試卷內(nèi)容不涉及概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，這點(diǎn)請考生務(wù)必記住。

試卷的結(jié)構(gòu)題型

四、考試性質(zhì)和考查目標(biāo)

1、考試性質(zhì)：數(shù)學(xué)考試其本質(zhì)是為高等學(xué)校和科研院所招收工學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)碩士研究生而設(shè)置的具有選拔性質(zhì)的全國招生考試科目，目的是科學(xué)、公平、有效地測試考生是否具備繼續(xù)攻讀碩士學(xué)位所需要的數(shù)學(xué)知識和能力。此套評價標(biāo)準(zhǔn)有利于各高等院校和科研院所擇優(yōu)選拔，從而確保碩士研究生的招生質(zhì)量。

2、考查目標(biāo)

作為選拔性考試，數(shù)學(xué)考試要求考生能夠比較系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)的基本概念和基本理論，掌握解決數(shù)學(xué)問題的基本方法。此外，考生還應(yīng)具備抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力。

2025年數(shù)學(xué)一考試大綱

考試科目：高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

考試形式和試卷結(jié)構(gòu)

一、試卷滿分及考試時間

試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘．

二、答題方式

答題方式為閉卷、筆試．

三、試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)

高等數(shù)學(xué)                　約60%

線性代數(shù)　                約20%

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)          約20%

四、試卷題型結(jié)構(gòu)

單選題                    10小題，每小題5分，共50分

填空題                    6小題，每小題5分，共30分

解答題（包括證明題）      6小題，共70分

 

高等數(shù)學(xué)

一、函數(shù)、極限、連續(xù)

考試內(nèi)容

函數(shù)的概念及表示法　函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性　復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)　基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形　初等函數(shù)　函數(shù)關(guān)系的建立

數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)　函數(shù)的左極限和右極限　無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系　無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較　極限的四則運(yùn)算　極限存在的兩個準(zhǔn)則：單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則　兩個重要極限：

函數(shù)連續(xù)的概念　函數(shù)間斷點(diǎn)的類型　初等函數(shù)的連續(xù)性　閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

考試要求

1．理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系。

2．了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。

3．理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。

4．掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。

5．理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左極限、右極限之間的關(guān)系。

6．掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。

7．掌握極限存在的兩個準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

8．理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限。

9．理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。

10．了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。

 

二、一元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)和微分的概念　導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義　函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系　平面曲線的切線和法線　導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算  基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)　復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法　高階導(dǎo)數(shù) 一階微分形式的不變性　微分中值定理　洛必達(dá)（L’Hospital）法則　函數(shù)單調(diào)性的判別  函數(shù)的極值　函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線　函數(shù)圖形的描繪　函數(shù)的最大值與最小值　弧微分　曲率的概念　曲率圓與曲率半徑

考試要求

1．理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

2．掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。

3．了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。

4．會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

5．理解并會用羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并會用柯西（Cauchy）中值定理。

6．掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。

7．理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用。

三、一元函數(shù)積分學(xué)

考試內(nèi)容

原函數(shù)和不定積分的概念　不定積分的基本性質(zhì)　基本積分公式　定積分的概念和基本性質(zhì)　定積分中值定理　積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)　牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式　不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法　有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分　反常（廣義）積分　定積分的應(yīng)用

考試要求

 1．理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念。

 2．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法。

3．會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分。

4．理解積分上限的函數(shù)，會求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式。

5．理解反常積分的概念，了解反常積分收斂的比較判別法，會計(jì)算反常積分。

6．掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質(zhì)心、形心等）及函數(shù)的平均值。

四、向量代數(shù)和空間解析幾何

考試內(nèi)容

向量的概念　向量的線性運(yùn)算　向量的數(shù)量積和向量積  向量的混合積　兩向量垂直、平行的條件　兩向量的夾角　向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算　單位向量　方向數(shù)與方向余弦　曲面方程和空間曲線方程的概念　平面方程  直線方程　平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件　點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離　球面　柱面　旋轉(zhuǎn)曲面　常用的二次曲面方程及其圖形　空間曲線的參數(shù)方程和一般方程　空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程

考試要求

1．理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。

2．掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），了解兩個向量垂直、平行的條件。

3．理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。

4．掌握平面方程和直線方程及其求法。

5．會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等））解決有關(guān)問題。

6．會求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離。

7．了解曲面方程和空間曲線方程的概念。

8．了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求簡單的柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的方程。

9．了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程．了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會求該投影曲線的方程。

五、多元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容

多元函數(shù)的概念　二元函數(shù)的幾何意義　二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念 有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)　多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分　全微分存在的必要條件和充分條件

多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法  二階偏導(dǎo)數(shù)　方向?qū)?shù)和梯度　空間曲線的切線和法平面　曲面的切平面和法線　二元函數(shù)的二階泰勒公式　多元函數(shù)的極值和條件極值　多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用

考試要求

1．理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義。

2．了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

3．理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。

4．理解方向?qū)?shù)與梯度的概念，并掌握其計(jì)算方法。

5．掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。

6．了解隱函數(shù)存在定理，會求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

7．了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。

8．了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。

9．理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應(yīng)用問題。

六、多元函數(shù)積分學(xué)

考試內(nèi)容

二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用　兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算　兩類曲線積分的關(guān)系　格林（Green）公式　平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件　二元函數(shù)全微分的原函數(shù)　兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算  兩類曲面積分的關(guān)系　高斯（Gauss）公式　斯托克斯（Stokes）公式　散度、旋度的概念及計(jì)算  曲線積分和曲面積分的應(yīng)用

考試要求

1．理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理。

2．掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），會計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）．

3．理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。

4．掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法。

5．掌握格林公式并會運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會求二元函數(shù)全微分的原函數(shù)。

6．了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計(jì)算兩類曲面積分的方法，掌握用高斯公式計(jì)算曲面積分的方法，并會用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分。

7．了解散度與旋度的概念，并會計(jì)算。

8．會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質(zhì)量、質(zhì)心、形心、轉(zhuǎn)動慣量、引力、功及流量等）。

七、無窮級數(shù)

考試內(nèi)容

常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念　收斂級數(shù)的和的概念　級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件　幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性　正項(xiàng)級數(shù)收斂性的判別法　交錯級數(shù)與萊布尼茨定理　任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂　函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念　冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域　冪級數(shù)的和函數(shù)　冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì) 簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法　初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式  函數(shù)的傅里葉

考試要求

1．理解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

2．掌握幾何級數(shù)與p級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。

3．掌握正項(xiàng)級數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法、根值判別法，會用積分判別法。

4．掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。

5．了解任意項(xiàng)級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關(guān)系。

6．了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。

7．理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。

8．了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分），會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和。

9．了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。

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